Toán hữu hạn Ví dụ

$\frac{x + 1}{2 - x} < \frac{x}{33 + x}$

Bước 1

Trừ $\frac{x}{33 + x}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Bước 2

Rút gọn $\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để viết $\frac{x + 1}{2 - x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Bước 2.2

Để viết $- \frac{x}{33 + x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Bước 2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(2 - x) (33 + x)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $\frac{x + 1}{2 - x}$ với $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{x}{33 + x}$ với $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(33 + x) (2 - x)} < 0$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(33 + x) (2 - x)$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(x + 1) (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Khai triển $(x + 1) (33 + x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x (33 + x) + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Di chuyển $33$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{33 \cdot x + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.2.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.2.1.3

Nhân $33$ với $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.2.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.2.2

Cộng $33 x$ và $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x \cdot 2 - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.6.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.6.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.6.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.7

Trừ $2 x$ khỏi $34 x$ .

$\frac{32 x + x^{2} + 33 + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.8

Cộng $x^{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{32 x + 2 x^{2} + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 2.5.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Bước 3

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$2 x^{2} + 32 x + 33 = 0$

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Bước 4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 5

Thay các giá trị $a = 2$ , $b = 32$ , và $c = 33$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 33)}}{2 \cdot 2}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nâng $32$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 2 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.2

Nhân $- 4 \cdot 2 \cdot 33$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 8 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.2.2

Nhân $- 8$ với $33$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 264}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.3

Trừ $264$ khỏi $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{760}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.4

Viết lại $760$ ở dạng $2^{2} \cdot 190$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $760$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (190)}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 190}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{2 \cdot 2}$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$

Bước 6.3

Rút gọn $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{190}}{2}$

Bước 7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

Bước 8

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 2$

Bước 9

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 9.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 9.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 9.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$x = 2$

Bước 10

Trừ $33$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 33$

Bước 11

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$x = 2$

$x = - 33$

Bước 12

Hợp nhất các đáp án.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, 2, - 33$

Bước 13

Tìm tập xác định của $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$(2 - x) (33 + x) = 0$

Bước 13.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Bước 13.2.2

Đặt $2 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.1

Đặt $2 - x$ bằng với $0$ .

$2 - x = 0$

Bước 13.2.2.2

Giải $2 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 2$

Bước 13.2.2.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 13.2.2.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 13.2.2.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 13.2.2.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.2.2.3.1

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$x = 2$

Bước 13.2.3

Đặt $33 + x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1

Đặt $33 + x$ bằng với $0$ .

$33 + x = 0$

Bước 13.2.3.2

Trừ $33$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 33$

Bước 13.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 - x) (33 + x) = 0$ đúng.

$x = 2, - 33$

Bước 13.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 33) \cup (- 33, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 14

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 33$

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$

$x > 2$

Bước 15

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 33$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 33$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 36$

Bước 15.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 36$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(- 36) + 1}{2 - (- 36)} < \frac{- 36}{33 - 36}$

Bước 15.1.3

Vế trái $- 0.92105263$ nhỏ hơn vế phải $12$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 15.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 17$

Bước 15.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 17$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(- 17) + 1}{2 - (- 17)} < \frac{- 17}{33 - 17}$

Bước 15.2.3

Vế trái $- 0.84210526$ không nhỏ hơn vế phải $- 1.0625$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 15.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 15.3.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(- 4) + 1}{2 - (- 4)} < \frac{- 4}{33 - 4}$

Bước 15.3.3

Vế trái $- 0.5$ nhỏ hơn vế phải $- 0.13793103$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 15.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 15.4.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(0) + 1}{2 - (0)} < \frac{0}{33 + 0}$

Bước 15.4.3

Vế trái $0.5$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 15.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 15.5.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{(4) + 1}{2 - (4)} < \frac{4}{33 + 4}$

Bước 15.5.3

Vế trái $- 2.5$ nhỏ hơn vế phải $0.\overline{108}$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 15.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 33$ Đúng

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Sai

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Đúng

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

$x < - 33$ Đúng

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Sai

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Đúng

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

Bước 16

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - 33$ hoặc $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ hoặc $x > 2$

Bước 17

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$x < - 33 or - \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2} or x > 2$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 33) \cup (- \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}) \cup (2, \infty)$

Bước 18